Да, цвет кнопки, надписи - пожалуйста (есть возможность выбрать цвета), а вот индикация - скупой набор из 3- цветов!

Честно не понимаю о чем вы. Поясните. Где набор из 3-х цветов?

Интересно, а почему они обошлись только 3-мя цветами диодов, да и элементов, которые можно поставить на экран – очень мало. Это не win cc.

Используя 3 компоненты цвета вы можете установить любой из 16 млн.цветов.
Элементов действительно не много. Но все самое необходимое есть. Все элементы имеют настройки позволяющие менять их внешний вид. Новые элементы постепенно разрабатываются.

1.    Прошил оба модуля  файлами  ESP8266 Прошивка v0.9.2.2 (135.3 KB), взятыми из https://esp8266.ru/downloads/esp8266-fi … wpfb-cat-2 
После прошивки модуль должен быть виден в WIFI и отвечать на AT команды.
2.    Создать проект в REmoteRX редакторе, назначить имя точки, выбрать Hardware Serial, скорость 115200, получить код.
3.    В FLProg в готовом сервисе с Remote вставить код, выбрать модуль, выбрать Hardware Serial, установить скорость 115200.  Остальные поля будут заполнены. Компилируем.
4.    Для прошивки выбираем UNO, но перед прошивкой снимите связи с UDP. После – поставите обратно.      Ваш модуль будет виден в WIFI под именем, которым вы его обозвали в проекте Remote.
5.    С телефона выбираем свою точку доступа.   Проект открывается.

Модули  UNO и ESP можно включать одновременно  - работает, как авторы и писали.

Резюме – первое и главное настроить ESP8266.  Прошивал с помощью ESP8266Flasher.  Из файла прошивки выбирал 4 .bin файлов. Мутно сказано об адресах, куда шить (возможно кто-то знает больше).     
У меня -                              blank.bin                                адрес  - 0FE000;
                                           esp_init_data_default.bin       адрес - OFС000;
                                           boot.bin                                  адрес -  00000;
                                         и   at   файл                              адрес  - 01000;

Добиться  - WIFI видит, на AT отвечает.   
Из Китая может прийти что угодно.  У меня вот соединялся по UDP только если ESP подключали позже UNO.   
И не уверен, что мой опыт окончательный.   Интересно, а что будет с ESP32.
Одно радует – модули мне не удалось загубить.
А вот команде Remote следует писать рекомендации тщательнее и отвечать на вопросы почаще.
Интересно, а почему они обошлись только 3-мя цветами диодов, да и элементов, которые можно поставить на экран – очень мало. Это не win cc.

После вкл/выкл питания модуль ECP01 перестал видится  в WIFI и отвечать на AT команды.

Не могу ничего прокомментировать...

Это не верно. На самом деле лог показывает что связь по UART с ESP есть и модуль отвечает на AT команды. Но вот почему то команду  AT+CWMODE=2 он выполнить не может. Не знаю почему. Возможно что то не то вы в него залили. Попробуйте эту команду отправить в ESP вручную через терминал и посмотрите какую он вам напишет ошибку.

Тут вы правы. От прошивки ВСЕГО в вашей системе зависит работа ВСЕЙ вашей системы.

Теперь при одновременном вкл. уст-в    в мониторе порта в IDE видим попытки сброса и установки в режим точки.  Но т.к. cвязи по UART нет, то ответа UNO не получает и потому долбит его.

AT
ATE0
AT+CWMODE=2
AT
AT+RST
AT
ATE0
AT+CWMODE=2
AT
AT+RST
AT
ATE0
AT+CWMODE=2

Если же подключить ESP позже UNO - опять сообщения как выше, т.е. попытка сброса, включение эха, установка режима  "точка"   
В обоих случаях нет связи по UART.

Ну здесь хоть логика есть. А вот что с UART?
Замечание -  у меня HARDWARE SERIAL!!!
Можно сделать вывод - от прошивки ESP8266 зависит работа системы и нет никакой увуренности, что не попадет в следующий раз что-то нерешаемое?

Можно предположить, что UNO уже инициализировалась, а вот ESP не успела и была отключена.

UNO ищет ESP в течении нескольких секунд. Все это было отлажено и протестировано. ESP вполне себе успевает инициализироваться. Кроме того контроллер может быть запущен или сброшен отдельно от ESP и он ее так же определит и найдет, так как в момент старта контроллера ESP уже работает. Но если вы подключаете ESP к уже работающему контроллеру то контроллер ее не найдет. Но такой ситуации в реальной жизни готового устройства не бывает. Если бывает то что то делается не так.
В новой библиотеке ESP ищется постоянно, и даже если она подключается позднее то она включится в работу. Но это в обще то какая то не правильная ситуация.

Вы пишете   - "Оба устройства должны стартануть одновременно. Контроллер ищет ESP только в самом начале при старте. И если он не находит его, то RemoteXY блокируется (не работает) из за отсутствия модуля связи. Даже если вы его подключите позже то связи не будет. Именно это у вас и происходит"
Можно предположить, что UNO уже инициализировалась, а вот ESP не успела и была отключена.
И далее проверяя связь, после моего подключения он вдруг его обнаруживает.
Но ведь и Вы, и другие пользователи, создав простенький проект, все это можете  проверить и прийти к какому-то решению!

Итак на https://remotexy.com/en/library/ я не нашел версии старше 2.4.6. 
Проверьте и дайте доступ к свежей библиотеке!

Скачивается правильная версия. Вы можете открыть файл library.properties и убедиться в этом.

Но вот что бы подключить эту библиотеку к FLProg обратитесь к документации FLProg. Так как библиотеки которые использует FLProg находятся совсем в других каталогах, не тех что использует Arduino IDE по умолчанию.

1. Подсоединять и отсоединять контакты на работающих устройствах это очень плохо, вы можете все спалить.
2. Оба устройства должны стартануть одновременно. Контроллер ищет ESP только в самом начале при старте. И если он не находит его, то RemoteXY блокируется (не работает) из за отсутствия модуля связи. Даже если вы его подключите позже то связи не будет. Именно это у вас и происходит.
3. Если контроллер при старте нашел ESP, то он будет постоянно проверять связь с ним раз в 30 сек даже если вы не используете связь. Так же контроллер пытается идентифицировать сброс ESP что бы его переподключить. Но если после потери связи попытки повторного поиска ESP ни к чему не привели, RemoteXY блокируется (останавливается).
Это нормальное поведение когда все устройства подключены и работоспособны. Если вы их отключаете и подключаете в процессе работы то конечно же ничего работать не будет.